树和二叉树

二叉树笔记

名词解释
1. 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
2. 叶节点或终端节点:度为零的节点;
3. 非终端节点或分支节点:度不为零的节点;
4. 父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
5. 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
6. 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
7. 树的高度或深度:树中节点的最大层次;
8. 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
9. 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
10. 孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
11. 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;
12. 满二叉树:一棵深度为k,且有2^k-1 (2的k次方减一)个节点称之为满二叉树
13. 完全二叉树:完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。


二叉树的性质:
(1) 在非空二叉树中,第i层的结点总数不超过2^(i-1),i>=1;
(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1),最少有h个结点;
(3) 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为K =[log2n」+1(取下整数)
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储,则结点之间有如下关系: 若I为结点编号则 如果I>1,则其父结点的编号为I/2;
如果2*I<=N,则其左儿子(即左子树的根结点)的编号为2*I;若2*I>N,则无左儿子; 如果2*I+1<=N,则其右儿子的结点编号为2*I+1;若2*I+1>N,则无右儿子。 (6)给定N个节点,能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n,n)/(n+1)。
(7)设有i个枝点,I为所有枝点的道路长度总和,J为叶的道路长度总和J=I+2i


二叉树遍历:

前序遍历:
1.访问根节点
2.前序遍历左子树
3.前序遍历右子树
中序遍历:
1.中序遍历左子树
2.访问根节点
3.中序遍历右子树
后序遍历:
1.后序遍历左子树
2.后序遍历右子树
3.访问根节点

一、已知前序、中序遍历,求后序遍历

例:

前序遍历:         GDAFEMHZ

中序遍历:         ADEFGHMZ

画树求法:
第一步,根据前序遍历的特点,我们知道根结点为G

第二步,观察中序遍历ADEFGHMZ。其中root节点G左侧的ADEF必然是root的左子树,G右侧的HMZ必然是root的右子树。

第三步,观察左子树ADEF,左子树的中的根节点必然是大树的root的leftchild。在前序遍历中,大树的root的leftchild位于root之后,所以左子树的根节点为D。

第四步,同样的道理,root的右子树节点HMZ中的根节点也可以通过前序遍历求得。在前序遍历中,一定是先把root和root的所有左子树节点遍历完之后才会遍历右子树,并且遍历的左子树的第一个节点就是左子树的根节点。同理,遍历的右子树的第一个节点就是右子树的根节点。

第五步,观察发现,上面的过程是递归的。先找到当前树的根节点,然后划分为左子树,右子树,然后进入左子树重复上面的过程,然后进入右子树重复上面的过程。最后就可以还原一棵树了。该步递归的过程可以简洁表达如下:

1 确定根,确定左子树,确定右子树。
2 在左子树中递归。
3 在右子树中递归。
4 打印当前根。
二、已知中序和后序遍历,求前序遍历

第一步,根据后序遍历的特点,我们知道后序遍历最后一个结点即为根结点,即根结点为G。

第二步,观察中序遍历ADEFGHMZ。其中root节点G左侧的ADEF必然是root的左子树,G右侧的HMZ必然是root的右子树。

第三步,观察左子树ADEF,左子树的中的根节点必然是大树的root的leftchild。在前序遍历中,大树的root的leftchild位于root之后,所以左子树的根节点为D。

第四步,同样的道理,root的右子树节点HMZ中的根节点也可以通过前序遍历求得。在前后序遍历中,一定是先把root和root的所有左子树节点遍历完之后才会遍历右子树,并且遍历的左子树的第一个节点就是左子树的根节点。同理,遍历的右子树的第一个节点就是右子树的根节点。

第五步,观察发现,上面的过程是递归的。先找到当前树的根节点,然后划分为左子树,右子树,然后进入左子树重复上面的过程,然后进入右子树重复上面的过程。最后就可以还原一棵树了。该步递归的过程可以简洁表达如下:

1 确定根,确定左子树,确定右子树。
2 在左子树中递归。
3 在右子树中递归。
4 打印当前根。
这样,我们就可以画出二叉树的形状,如上图所示,这里就不再赘述。
那么,前序遍历:         GDAFEMHZ

树的创建:https://www.yuheng.tech/2019/05/16/binary-tree/

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